正態(tài)分布是指什么？正態(tài)分布的定理、定義、特征及應用

2023-12-09 10:34:38

正態(tài)分布是指什么

一、正態(tài)分布是指什么

正態(tài)分布（英文：Normal distribution）又稱為常態(tài)分布或高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。是一個在數(shù)學、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計學的許多方面有著重大的影響力。

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

若隨機變量X服從一個數(shù)學期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，記為N(μ，σ2)。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態(tài)分布是標準正態(tài)分布。

二、正態(tài)分布的發(fā)展

正態(tài)分布概念是由法國數(shù)學家棣莫弗（Abraham de Moivre）于1733年首次提出的，后由德國數(shù)學家Gauss率先將其應用于天文學研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布，高斯這項工作對后世的影響極大，他使正態(tài)分布同時有了"高斯分布"的名稱，后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他，也是出于這一工作。 [1] 但德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達了一種想法：在高斯的一切科學貢獻中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。在高斯剛作出這個發(fā)現(xiàn)之初，也許人們還只能從其理論的簡化上來評價其優(yōu)越性，其全部影響還不能充分看出來。這要到20世紀正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展起來以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并馬上將其與他發(fā)現(xiàn)的中心極限定理聯(lián)系起來，為此，他在即將發(fā)表的一篇文章（發(fā)表于1810年）上加上了一點補充，指出如若誤差可看成許多量的疊加，根據(jù)他的中心極限定理，誤差理應有高斯分布。這是歷史上第一次提到所謂"元誤差學說"——誤差是由大量的、由種種原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成。后來到1837年，海根（G.Hagen）在一篇論文中正式提出了這個學說。

其實，他提出的形式有相當大的局限性：海根把誤差設想成個數(shù)很多的、獨立同分布的"元誤差" 之和，每只取兩值，其概率都是1/2，由此出發(fā)，按棣莫弗的中心極限定理，立即就得出誤差（近似地）服從正態(tài)分布。拉普拉斯所指出的這一點有重大的意義，在于他給誤差的正態(tài)理論一個更自然合理、更令人信服的解釋。因為，高斯的說法有一點循環(huán)論證的氣味：由于算術(shù)平均是優(yōu)良的，推出誤差必須服從正態(tài)分布；反過來，由后一結(jié)論又推出算術(shù)平均及最小二乘估計的優(yōu)良性，故必須認定這二者之一（算術(shù)平均的優(yōu)良性，誤差的正態(tài)性）為出發(fā)點。但算術(shù)平均到底并沒有自行成立的理由，以它作為理論中一個預設的出發(fā)點，終覺有其不足之處。拉普拉斯的理論把這斷裂的一環(huán)連接起來，使之成為一個和諧的整體，實有著極重大的意義。

三、正態(tài)分布的定理

由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對稱，對于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。只要會用它求正態(tài)總體在某個特定區(qū)間的概率即可。

為了便于描述和應用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布。

若標準正態(tài)分布

服從標準正態(tài)分布,通過查標準正態(tài)分布表就可以直接計算出原正態(tài)分布的概率值。故該變換被稱為標準化變換。（標準正態(tài)分布表：標準正態(tài)分布表中列出了標準正態(tài)曲線下從-∞到X（當前值）范圍內(nèi)的面積比例。）

四、正態(tài)分布的定義

1、一維正態(tài)分布

若隨機變量服從一個位置參數(shù)為、尺度參數(shù)為的概率分布，且其概率密度函數(shù)為：

正態(tài)隨機變量

則這個隨機變量就稱為正態(tài)隨機變量，正態(tài)隨機變量服從的分布就稱為正態(tài)分布，記作正態(tài)分布01 ，讀作X服從正態(tài)分布02 ，或X服從正態(tài)分布。

μ維隨機向量具有類似的概率規(guī)律時，稱此隨機向量遵從多維正態(tài)分布。多元正態(tài)分布有很好的性質(zhì)，例如，多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布，它經(jīng)任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態(tài)分布，特別它的線性組合為一元正態(tài)分布。

本詞條的正態(tài)分布是一維正態(tài)分布，此外多維正態(tài)分布參見"二維正態(tài)分布"。

2、標準正態(tài)分布

當正態(tài)分布03 時，正態(tài)分布就成為標準正態(tài)分布：

正態(tài)分布04

五、正態(tài)分布的特征

1、集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。

2、對稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。

3、均勻變動性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。

4、正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)μ和標準差σ，可記作N（μ，σ）：均數(shù)μ決定正態(tài)曲線的中心位置；標準差σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平。

5、u變換：為了便于描述和應用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。

六、正態(tài)分布的應用

1、綜述

(1)、估計頻數(shù)分布一個服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標準差就可根據(jù)公式即可估計任意取值范圍內(nèi)頻數(shù)比例。

(2)、制定參考值范圍

● 正態(tài)分布法適用于服從正態(tài)（或近似正態(tài)）分布指標以及可以通過轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標。

●百分位數(shù)法常用于偏態(tài)分布的指標。表3-1中兩種方法的單雙側(cè)界值都應熟練掌握。

(3)、質(zhì)量控制：為了控制實驗中的測量（或?qū)嶒灒┱`差，常以作為上、下警戒值，以作為上、下控制值。這樣做的依據(jù)是：正常情況下測量（或?qū)嶒灒┱`差服從正態(tài)分布。

(4)、正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的理論基礎(chǔ)。檢驗、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計方法均要求分析的指標服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計方法雖然不要求分析指標服從正態(tài)分布，但相應的統(tǒng)計量在大樣本時近似正態(tài)分布，因而大樣本時這些統(tǒng)計推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。

2、頻數(shù)分布

例1.10 某地1993年抽樣調(diào)查了100名18歲男大學生身高（cm），其均數(shù)=172.70cm，標準差s=4.01cm，①估計該地18歲男大學生身高在168cm以下者占該地18歲男大學生總數(shù)的百分數(shù)；②分別求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范圍內(nèi)18歲男大學生占該地18歲男大學生總數(shù)的實際百分數(shù)，并與理論百分數(shù)比較。

本例，μ、σ未知但樣本含量n較大，按式（3.1）用樣本均數(shù)X和標準差S分別代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表標準正態(tài)曲線下的面積，在表的左側(cè)找到-1.1，表的上方找到0.07，兩者相交處為0.1210=12.10%。該地18歲男大學生身高在168cm以下者，約占總數(shù)12.10%。其它計算結(jié)果見表3。

表3 100名18歲男大學生身高的實際分布與理論分布

100名18歲男大學生身高的實際分布與理論分布

3、綜合素質(zhì)研究

教育統(tǒng)計學統(tǒng)計規(guī)律表明，學生的智力水平，包括學習能力，實際動手能力等呈正態(tài)分布。因而正常的考試成績分布應基本服從正態(tài)分布?？荚嚪治鲆罄L制出學生成績分布的直方圖，以"中間高、兩頭低"來衡量成績符合正態(tài)分布的程度。其評價標準認為：考生成績分布情況直方圖，基本呈正態(tài)曲線狀，屬于好，如果略呈正（負）態(tài)狀，屬于中等，如果呈嚴重偏態(tài)或無規(guī)律，就是差的。

從概率統(tǒng)計規(guī)律看，"正常的考試成績分布應基本服從正態(tài)分布"是正確的。但是必須考慮人與物的本質(zhì)不同，以及教育的有所作為可以使"隨機"受到干預，用曲線或直方圖的形狀來評價考試成績就有失偏頗。許多教育專家（如上海顧泠沅、美國布魯姆等）已經(jīng)通過實踐論證，教育是可以大有作為的，可以做到大多數(shù)學生及格，而且多數(shù)學生可以得高分，考試成績曲線是偏正態(tài)分布的。但是長期受到"中間高、兩頭低"標準的影響，限制了教師的作為，抑制了多數(shù)學生能夠?qū)W好的信心。這是很大的誤會。通常正態(tài)曲線有一條對稱軸。當某個分數(shù)（或分數(shù)段）的考生人數(shù)最多時，對應曲線的最高點，是曲線的頂點。該分數(shù)值在橫軸上的對應點與頂點連接的線段就是該正態(tài)曲線的對稱軸。考生人數(shù)最多的值是峰值。我們注意到，成績曲線或直方圖實際上很少對稱的，稱之為峰線更合適。

4、醫(yī)學參考值

某些醫(yī)學現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實驗中的隨機誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標（變量）雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標，被稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。

醫(yī)學參考值范圍亦稱醫(yī)學正常值范圍。它是指所謂"正常人"的解剖、生理、生化等指標的波動范圍。制定正常值范圍時，首先要確定一批樣本含量足夠大的"正常人"，所謂"正常人"不是指"健康人"，而是指排除了影響所研究指標的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群；其次需根據(jù)研究目的和使用要求選定適當?shù)陌俜纸缰?，?0%，90%，95%和99%，常用95%；根據(jù)指標的實際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，如白細胞計數(shù)過高過低皆屬不正常須確定雙側(cè)界值，又如肝功中轉(zhuǎn)氨酶過高屬不正常須確定單側(cè)上界，肺活量過低屬不正常須確定單側(cè)下界。另外，還要根據(jù)資料的分布特點，選用恰當?shù)挠嬎惴椒?。常用方法有?/p>

(1)、正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。

雙側(cè)界值：X+-u（u）S單側(cè)上界：X+u（u）S，或單側(cè)下界：X-u（u）S

(2)、對數(shù)正態(tài)分布法：適用于對數(shù)正態(tài)分布資料。

雙側(cè)界值：lg-1[X（lgx）+-u（u）S（lgx）]；單側(cè)上界：lg-1[X（lgx）+u（u）S（lgx）]，或單側(cè)下界：lg-1[X（lgx）-u（u）S（lgx）]。

常用u值可根據(jù)要求由表4查出。

(3)、百分位數(shù)法：常用于偏態(tài)分布資料以及資料中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。

雙側(cè)界值：P2.5和P97.5；單側(cè)上界：P95，或單側(cè)下界：P5。

表4常用u值表

常用u值表

統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)：

如t分布、F分布、分布都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導出來的，u檢驗也是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，t分布、二項分布、Poisson分布的極限為正態(tài)分布，在一定條件下，可以按正態(tài)分布原理來處理。

5、員工績效

大部分員工的業(yè)績，都是一般的，做得特別好的非常少，做得特別差的也不多見。這就是為什么績效管理領(lǐng)域，會用"活力曲線"來考核業(yè)績。

什么是"活力曲線"呢？

員工流失率太高顯然不好。據(jù)計算，招聘的過程花費，大概是這名員工年薪的50％。過高的員工流失率，意味著失控的招聘成本。離職的業(yè)績損失，大概是這名員工年薪的30%-400%。過高的員工流失率，更意味著巨大的業(yè)績損失。

員工流失率太低也不好。極低的員工流失率，通常來自對低績效的容忍。允許績效差的員工留在團隊，損失的不僅是工資，而是本應獲得的業(yè)績。另外，績效差的員工通常更不愿離開，因為他可能找不到另一份工作。為了安全，他會想辦法擠走績效好的人，你的團隊會越來越?jīng)]有戰(zhàn)斗力。

通用電氣前CEO杰克·韋爾奇認為，大家很容易認識到員工流失率太高的問題，卻很難認識到流失率太低的危害，所以，他提出了著名的"末位淘汰制"（也叫"活力曲線"），他把員工分為：

20%的優(yōu)秀員工，70%的中等員工，和10%的末位員工。末位員工必須提升自己，或者轉(zhuǎn)崗，或者面臨淘汰。

這個制度，被認為是給通用電氣帶來無限活力的法寶之一。

所以，以后上班別偷懶，小心被老板裁掉。害怕吧？

符合正態(tài)分布的商業(yè)現(xiàn)象

七、數(shù)據(jù)正態(tài)分布檢驗 Q-Q圖

要觀察某一屬性的一組數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布，可以有兩種方法（目前我知道這兩種，并且這兩種方法只是直觀觀察，不是定量的正態(tài)分布檢驗）：

1：在spss(Statistical Package for the Social Sciences，即"社會科學統(tǒng)計軟件包")里的基本統(tǒng)計分析功能里的頻數(shù)統(tǒng)計功能里有對某個變量各個觀測值的頻數(shù)直方圖中可以選擇繪制正態(tài)曲線。具體如下：Analyze-----Descriptive Statistics-----Frequencies，打開頻數(shù)統(tǒng)計對話框，在Statistics里可以選擇獲得各種描述性的統(tǒng)計量，如：均值、方差、分位數(shù)、峰度、標準差等各種描述性統(tǒng)計量。在Charts里可以選擇顯示的圖形類型，其中Histograms選項為柱狀圖也就是我們說的直方圖，同時可以選擇是否繪制該組數(shù)據(jù)的正態(tài)曲線（With norma curve），這樣我們可以直觀觀察該組數(shù)據(jù)是否大致符合正態(tài)分布。如下圖：

正態(tài)分布圖

從上圖中可以看出，該組數(shù)據(jù)基本符合正態(tài)分布。

2：正態(tài)分布的Q-Q圖：在spss里的基本統(tǒng)計分析功能里的探索性分析里面可以通過觀察數(shù)據(jù)的q-q圖來判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。

具體步驟如下：Analyze-----Descriptive Statistics-----Explore打開對話框，選擇Plots選項，選擇Normality plots with tests選項，可以繪制該組數(shù)據(jù)的q-q圖。圖的橫坐標為改變量的觀測值，縱坐標為分位數(shù)。若該組數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，則圖中的點應該靠近圖中直線。

縱坐標為分位數(shù)，是根據(jù)分布函數(shù)公式F(x)=i/n+1得出的.i為把一組數(shù)從小到大排序后第i個數(shù)據(jù)的位置，n為樣本容量。若該數(shù)組服從正態(tài)分布則其q-q圖應該與理論的q-q圖（也就是圖中的直線）基本符合。對于理論的標準正態(tài)分布，其q-q圖為y=x直線。非標準正態(tài)分布的斜率為樣本標準差，截距為樣本均值。

如下圖：

spss正態(tài)分布Q-Q圖